NEWTON
Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del
cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la
física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el
teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.
Principales aportes de Newton
Desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes
problemas matemáticos. Abordó entonces el teorema del binomio.
Teorema generalizado del binomio (Newton)
Isaac Newton
generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie
infinita:
Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular,
r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los
coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en
el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no
aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en converge y la igualdad es verdadera siempre que
los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el
sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
Calcular Binomio
Para calcular un Binomio de Newton estilo 
podemos
hacer de forma sencilla:
podemos
hacer de forma sencilla: 
Newton había
descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666
y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de
su nuevo análisis.
Newton y Leibniz
protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama
de la matemática. Los historiadores de la ciencia consideran que ambos
desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era
mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos. La
polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y continentales, sin
embargo esta separación no fue tan profunda como para que Newton y Leibniz
dejaran de intercambiar resultados.
CALCULO DIFERENCIAL
CALCULO DIFERENCIAL
El cálculo diferencial es el estudio de la definición,
propiedades, y aplicaciones de la derivada de una función, o lo que es lo
mismo, la pendiente de la tangente a lo largo de su gráfica. El proceso de
encontrar la derivada se llama derivación o diferenciación. Dada una función y
un punto en su dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el
comportamiento a pequeña-escala de la función cerca del punto. Encontrando la
derivada de una función para cada punto en su dominio, es posible producir una
nueva función, llamada la “función derivada” o simplemente la “derivada” de la
función original. En lenguaje técnico, la derivada es un operador lineal, el
cual toma una función y devuelve una segunda función, de manera que para cada
punto de la primera función, la segunda obtiene la pendiente a la tangente en
ese punto.
El concepto de
derivada es fundamentalmente más avanzado que los conceptos encontrados en el
álgebra.
Para entender la
derivada, los estudiantes deben aprender la notación matemática. En notación
matemática, un símbolo común para la derivada de una función es una marca
parecida a un acento o apostrofo llamada símbolo primo. Así la derivada de f es
f′ (pronunciado "f prima"). En lo siguiente la segunda función es la
derivada de la primera:
Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces
la derivada representa el cambio con respecto del tiempo. Por ejemplo, si “f”
es una función que toma el tiempo como entrada y da la posición de la pelota en
ese momento como salida, entonces la derivada de “f” es cuánto la posición está
cambiando en el tiempo, esto es, es la velocidad de la pelota.
Si la función es
lineal (esto es, la gráfica de la función es una línea recta), entonces la
función puede ser escrita de la forma y = mx + b, donde:
LEIBNIZ
fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue
posterior al de Newton, aunque Leibnitz fue el primero en publicar el invento.
En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibnitz se convence que los
problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. Alejándose de estos problemas, a partir de
sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría de
sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo
Leibniz fue entonces impresionante, ya que
le llevó al
descubrimiento del cálculo en 1675 y su elaboración y publicación en dos cortos
artículos del Acta Eruditorum después en 1684
y 1686, el primero
sobre cálculo diferencial y el segundo sobre cálculo integral., las reglas para
la manipulación de los símbolos
"Descripción: y la diferencial.
Esto refleja sus ideas filosóficas de buscar un lenguaje simbólico y
operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal
manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por símbolos y
fórmulas.
En Leibnizl interés no era la aplicación física. De hecho,
se podría establecer una correlación entre infinitesimales y "mónadas'',
estos últimos entes primarios en la descripción de lo real según la filosofía
que aparece en su libro de filosofía (metafísica) Monadología.
El énfasis de Newton
era la razón de cambio, mientras que en Leibniz lo era la suma infinita de infinitesimales.
En la historia del cálculo se encuentra la
controversia de quién fue el inventor del cálculo, si Newton o Leibniz, algunos
le dan la primicia a Newton y otros a Leibniz, pero se generaliza que Newton
tuvo primero las ideas y que Leibniz las descubrió igualmente algunos años más
tarde. Pero sin duda Leibniz merece igual crédito que Newton, por lo tanto sus
aportaciones al cálculo fueron sobresalientes. Leibniz estableció la resolución
de los problemas para los máximos y los mínimos, así como de las tangentes,
esto dentro del cálculo diferencial; dentro del cálculo integral logró la
resolución del problema para hallar la curva cuya subtangente es constante.
Expuso los principios del cálculo infinitesimal, resolviendo el problema de la
isócrona (ver biografía de Bernoulli) y de algunas otras aplicaciones
mecánicas, utilizando ecuaciones diferenciales.
No cabe duda que su mayor aportación fue el
nombre de cálculo diferencial e integral, así como la invención de símbolos
matemáticos para la mejor explicación del cálculo, como el signo = (igual), así
como su notación para las derivadas dx/dy, y su notación para las integrales.
- http://calculo-vazquezguzman-jair.blogspot.mx/2010/05/aportaciones-lagrange-cauchy-leibniz.html
- http://caldif53364.blogspot.mx/2012/09/aportaciones-de-newton-y-leibniz.html
DE LA
CRUZ PIZANO GILBERTO
HERNANDEZ
CANO GABRIELA
ROSALES
FELICIANO MONICA IVETTE
